פרסום מתוך הקורס (קבלה)

[בנסון האתיופי]

רציפות (פילוסופיה) – ויקיפדיה

he.wikipedia.org

העת העתיקה
רעיון הרציפות הופיע כבר בתחילת הפילוסופיה היוונית, אצל הפילוסוף אנכסגורס, אולם ההתמודדות העיקרית איתו נערכה על ידי מתמטיקאים. עם זאת, בעת העתיקה לא הייתה הבחנה ברורה בין מדע ופילוסופיה.
האסכולה הפיתגוראית פיתחה תורה שלמה סביב מספרים במאה החמישית לפני הספירה. הפיתגוראים האמינו כי המתמטיקה שלהם מתארת את העולם או שהיא זהה עם העולם. באותה עת, עסקו הפיתגוראים רק במספרים הנקראים כיום מספרים טבעיים (1,2,3...), ובשברים (מנה של שני מספרים טבעיים). הם נקלעו למבוכה כאשר ניסו לחשב את אורך היתר של משולש ישר-זווית שאורך כל אחד מניצביו הוא 1. אורך היתר במשולש זה הוא שורש 2. מספר זה אינו טבעי ואף אינו רציונלי (אינו ניתן להצגה כשבר). הפיתגוראים החליטו להתעלם ממספרים אלו, הנקראים כיום מספרים אי-רציונליים. כיום אנו יודעים שהישר הממשי (המכיל מספרים טבעיים, רציונליים ואי-רציונליים), הוא התגלמותה של הרציפות.
הפילוסוף זנון הציג התמודדות מעמיקה יותר עם הרציפות. מטרתו הייתה להוכיח את הטענה של רבו, פרמנידס, כי לא קיימת כלל חלוקה בעולם. לצורך כך ניסה זנון להראות באמצעות פרדוקסים כי גם חלוקה אטומית (בדידה) וגם חלוקה אינסופית (רציפות) מביאות לסתירות לוגיות. מנקודת מבט מודרנית, ניתן לסייג ולומר כי זנון הראה כי שתי צורות החלוקה הללו גורמות לקשיים אינטואיטיביים (בניגוד לסתירות לוגיות).
טענתו של זנון כנגד הרציפות הייתה כי כאשר מחלקים קו לאינסוף, יכולות להתקבל שתי תוצאות: האחת, שהקו מורכב מגדלים מאוד קטנים. השנייה, שהקו אינו מורכב מגדלים כלל. אם הקו מורכב מגדלים כלשהם, הרי שהוא לא רציף, אלא אטומי (בדיד). אם הקו אינו מורכב מגדלים כלל, אז כיצד הוא קיים? למרות שהפרדוקסים של זנון זכו לפתרונות מתמטיים כעבור כ-2,500 שנה, הקושי האינטואיטיבי נותר בעינו עד היום: כיצד ייתכן שאוסף נקודות חסרות גודל יוצר קו בעל גודל? כיצד ייתכן שיש מספרים שעצם הגדרתם היא תהליך אינסופי?
למרות הקושי האינטואיטיבי, כבר בתקופה זו פיתח ארכימדס חישוב המשתמש בחלוקה אינסופית, על מנת לחשב את שטח העיגול. ארכימדס הניח כי העיגול מכיל אינסוף משולשים צרים לאינסוף, ולכן אפשר לחשב את שטחו על בסיס הנוסחה לחישוב שטחו של משולש. ארכימדס הניח, אם כך, שניתן לעבוד עם המושג "קטן עד אינסוף", אולם טרם היו בידיו הכלים המתמטיים להגדיר זאת.
העת החדשה
בסוף המאה ה-17 וראשית המאה ה-18 המשיכו לייבניץ וניוטון את דרכו של ארכימדס ופיתחו חשבון המסוגל לחשב, בין היתר, את שטחן של צורות עקומות: חשבון אינפיניטסימלי. גם כאן נדרשה חלוקה אינסופית. הפעם הציב החישוב גם קשיים לוגיים. במהלך החישוב הופיע מושג האינפיניטסימל - "גודל קטן לאין סוף", שדרך ההתייחסות אליו הייתה כפולה: בראשית החישוב התייחסו אליו כגדול מאפס, ובהמשך החישוב התייחסו אליו כשווה ממש לאפס.
בתקופה זו עדיין היה קשר חזק יחסית בין המתמטיקה לפילוסופיה. ניוטון, ובעיקר לייבניץ, התייחסו בכתביהם למושג הרציפות האינטואיטיבי. לייבניץ ניסה להסביר מדוע לדעתו קיימת רציפות בטבע, כפי שהיא קיימת במתמטיקה. הפילוסוף ג'ורג' ברקלי ביקר את שיטותיהם של ניוטון ולייבניץ:
"אין לכנות את הדבר מדע, כאשר אתה מגשש כסומא בארובה ומגיע אל האמת מבלי לדעת כיצד, ובאילו אמצעים... המחבר הדגול של שיטת הפלוקציות חש בקושי הזה, ולפיכך הכניס בהן מידה הגונה של הפשטה ושל מטפיזיקה גאומטרית... הוא השתמש בפלוקציות כדרך שמשתמשים בפיגום של בניין, שלבסוף מסולק או נפטרים ממנו..."
הקושי הלוגי שהתעורר בחשבון האינפיניטסימלי גרם למתמטיקאים לעבור מעיסוק בגאומטריה לעיסוק בהגדרות לוגיות ובתורת המספרים.
הפתרון העיקרי שניתן בתחום החשבון האינפיניטסימלי היה החלפת המושג "גודל קטן עד אין סוף" במושג גבול. מושג הגבול מביע את הרעיון המופיע במושג "גודל קטן עד אין סוף", אולם ניסוחו המתמטי אינו יוצר קשיים לוגיים, מפני שהגבול שם נקודת גבול לאינסוף המתכנס ובכך שם סוג של סוף (גבול), או נקודת עצירה לאינסוף, או במילים אחרות, הופך את הרציפות לדבר המורכב מאובייקטים בדידים קטנים כרצוננו אך סופיים (אפסילון).
הפתרון העיקרי שניתן להגדרת המספרים האי-רציונליים, היה פיתוחה של תורת הקבוצות. קנטור פיתח מושגים ושיטות שבהן אין "תהליך אינסופי" (אינסוף פוטנציאלי) אלא קבוצות אינסופיות (אינסוף אקטואלי). בצורה זו ניתן להגדיר בכלים סופיים מהו מספר אי-רציונלי.
פתרונות אלו מאפשרים למתמטיקה המודרנית לעבוד עם גדלים אינסופיים. עם זאת, יש הטוענים שנותרו קשיים לוגיים עד היום במתמטיקה, בעיקר בגלל העבודה WITH גדלים אינסופיים.
כמו כן, פתרונות אלו עקפו את השאלות העמוקות בדבר אפשרות חלוקתו האינסופית של הרצף, וטיבם של גדלים קטנים לאינסוף. שאלות אלה הופרדו מן המתמטיקה והוכרזו כעניין לפסיכולוגיה, או לפילוסופיה, שאין לו נגיעה בעבודת המתמטיקאי. אך למעשה, רעיונות אלה נותרו חבויים באקסיומות שעליהן נשענים מושגי המספר והגבול.
מאחר שהמתמטיקה נפרדה מן הפילוסופיה, המתמטיקאים אינם עוסקים בשאלות כגון: "כיצד ניתן לתפוס שאוסף נקודות חסרות גודל יוצרות קו בעל גודל?" או "כיצד ניתן לתפוס תהליך אינסופי?"


@blackarch @אוהיו גוזאימאסו

 

[בנסון האתיופי]

עכשיו קראתי. ערך מאניין

 

[בנסון האתיופי]

רק עכשיו התחלתי לצפות בהרצאות של חדוו"א

נבחן מקרוב גם מה ההבדל בחומר הלימודי בין אינפי לנ"ל

 

[blackarch]

למען האמת הידע הפילוסופי-ביקורתי שיש לי על אינפי מסתכם בטיעון לג'ורג' ברקלי בדבר זה שאין ממש ברעיון "אינפיניטיסמל", או גודל קטן ככול שנרצה. לייבניץ ראה בכך פיקציה שימושית (FICTIONES IURIS), וכי לא שייך בהם פורמליזציה לוגית חמורה וריגורוזית, ולמעשה אלו הועלו על ידו לכתב לשם פתרון בעיות תנועה, קצב ושינוי ברגע נתון (מהירות ותאוצת גופים), וכן מניח את רציפות המרחב שמערערת על פרדוקס זנון של אכילס והצב.
הוא ראה באלו שימושים לשם חישוב, בין היתר, שטחים ונפחים של צורות בלתי סדירות (פתרון עבור בעיית מסלולי כוכבי הלכת). חישוב קווי משיק לעקומות, או מציאת נקודות קיצון.

מאוחר במאות הבאות זו נעשתה תורה פורמלית מוגדרת היטב עם החבר'ה קושי, דדקינד, ויירשטראס וכולי.

הם ניקו את התורה מהמשגות של אינטואיציה או פיזיקלזציה שעשו ניוטון את לייבניץ (כמו למשל "זרימה" או "אינפיניטסימלים", שהחשיבו דאז לרוחות רפאים).

הם הגדירו מחדש את האנליזה המתמטית באמצעות שפת אפסילונים ודלתאות ובנו את שדה המספרים הממשיים, ובכך סתמו את הגולל על הביקורת, כשהניחו את אבני הפינה הלוגיים והפכו את החדוו"א למבנה אקסיומטי קפדני, במנותק מהמשגות אינטואטיביות.


קרי אינסוף פוטנציאלי, "בלתי-סופי"?

זה נכון בעיקר היסטורית. היום זה מוגדר מספיק כדי להתייחס לזה.
הפרדוקס של אכילס והצב נפתר סופית באינפי 2 כששם יש מבחני התכנסות לטורים. אבל הבעיה הייתה בהנחה שסכום אינסופי לא יכול להיות סופי.
(כאן זה גם התכנסות בהחלט, בהתכנסות בתנאי הסיבה להתכנסות גם שונה מאוד וזה משחק בין חיוביים לשליליים).
יש עוד פרדוקסים לגבי שטחים שנפתרים עם אינטגרל מתכנס. בפועל שניהם קשורים כי אינטגרל זה סכום רציף וטור זה סכום בדיד.
הקשר בין בדידות לרציפות חוזר על עצמו הרבה במתמטיקה, פיזיקה ומדמח אבל לא חושב שצריך לפרט על כאן.


אני יותר מסתכל על זה כשינוי מחשבתי של ניוטון ולייבניץ בלי להתעכב יותר מדי על הפורמליות וניסיון לתאר את הטבע. ניוטון מעניין מאוד, כי מצד אחד הוא פילוסוף של הטבע מהאחרונים של הפילוסופים של הטבע עם גם נטיה לתחומים מוזרים ומצד שני בהרבה מובנים המדען הראשון.
את העבודה השחורה השאירו לצרפתים.



אינסוף פוטנציאלי הוא לא בלתי סופי. הוא אינסוף שהוא תהליך. למשל אם ניקח את הסדרה an=n זה לא מבנה שמכיל את כל הטבעיים ביחד. זה תהליך של ספירה. לזה אריסטו מתכוון כשהוא אומר אינסוף/απειρον

 

[blackarch]

רציפות (פילוסופיה) – ויקיפדיה

he.wikipedia.org

העת העתיקה
רעיון הרציפות הופיע כבר בתחילת הפילוסופיה היוונית, אצל הפילוסוף אנכסגורס, אולם ההתמודדות העיקרית איתו נערכה על ידי מתמטיקאים. עם זאת, בעת העתיקה לא הייתה הבחנה ברורה בין מדע ופילוסופיה.
האסכולה הפיתגוראית פיתחה תורה שלמה סביב מספרים במאה החמישית לפני הספירה. הפיתגוראים האמינו כי המתמטיקה שלהם מתארת את העולם או שהיא זהה עם העולם. באותה עת, עסקו הפיתגוראים רק במספרים הנקראים כיום מספרים טבעיים (1,2,3...), ובשברים (מנה של שני מספרים טבעיים). הם נקלעו למבוכה כאשר ניסו לחשב את אורך היתר של משולש ישר-זווית שאורך כל אחד מניצביו הוא 1. אורך היתר במשולש זה הוא שורש 2. מספר זה אינו טבעי ואף אינו רציונלי (אינו ניתן להצגה כשבר). הפיתגוראים החליטו להתעלם ממספרים אלו, הנקראים כיום מספרים אי-רציונליים. כיום אנו יודעים שהישר הממשי (המכיל מספרים טבעיים, רציונליים ואי-רציונליים), הוא התגלמותה של הרציפות.
הפילוסוף זנון הציג התמודדות מעמיקה יותר עם הרציפות. מטרתו הייתה להוכיח את הטענה של רבו, פרמנידס, כי לא קיימת כלל חלוקה בעולם. לצורך כך ניסה זנון להראות באמצעות פרדוקסים כי גם חלוקה אטומית (בדידה) וגם חלוקה אינסופית (רציפות) מביאות לסתירות לוגיות. מנקודת מבט מודרנית, ניתן לסייג ולומר כי זנון הראה כי שתי צורות החלוקה הללו גורמות לקשיים אינטואיטיביים (בניגוד לסתירות לוגיות).
טענתו של זנון כנגד הרציפות הייתה כי כאשר מחלקים קו לאינסוף, יכולות להתקבל שתי תוצאות: האחת, שהקו מורכב מגדלים מאוד קטנים. השנייה, שהקו אינו מורכב מגדלים כלל. אם הקו מורכב מגדלים כלשהם, הרי שהוא לא רציף, אלא אטומי (בדיד). אם הקו אינו מורכב מגדלים כלל, אז כיצד הוא קיים? למרות שהפרדוקסים של זנון זכו לפתרונות מתמטיים כעבור כ-2,500 שנה, הקושי האינטואיטיבי נותר בעינו עד היום: כיצד ייתכן שאוסף נקודות חסרות גודל יוצר קו בעל גודל? כיצד ייתכן שיש מספרים שעצם הגדרתם היא תהליך אינסופי?
למרות הקושי האינטואיטיבי, כבר בתקופה זו פיתח ארכימדס חישוב המשתמש בחלוקה אינסופית, על מנת לחשב את שטח העיגול. ארכימדס הניח כי העיגול מכיל אינסוף משולשים צרים לאינסוף, ולכן אפשר לחשב את שטחו על בסיס הנוסחה לחישוב שטחו של משולש. ארכימדס הניח, אם כך, שניתן לעבוד עם המושג "קטן עד אינסוף", אולם טרם היו בידיו הכלים המתמטיים להגדיר זאת.
העת החדשה
בסוף המאה ה-17 וראשית המאה ה-18 המשיכו לייבניץ וניוטון את דרכו של ארכימדס ופיתחו חשבון המסוגל לחשב, בין היתר, את שטחן של צורות עקומות: חשבון אינפיניטסימלי. גם כאן נדרשה חלוקה אינסופית. הפעם הציב החישוב גם קשיים לוגיים. במהלך החישוב הופיע מושג האינפיניטסימל - "גודל קטן לאין סוף", שדרך ההתייחסות אליו הייתה כפולה: בראשית החישוב התייחסו אליו כגדול מאפס, ובהמשך החישוב התייחסו אליו כשווה ממש לאפס.
בתקופה זו עדיין היה קשר חזק יחסית בין המתמטיקה לפילוסופיה. ניוטון, ובעיקר לייבניץ, התייחסו בכתביהם למושג הרציפות האינטואיטיבי. לייבניץ ניסה להסביר מדוע לדעתו קיימת רציפות בטבע, כפי שהיא קיימת במתמטיקה. הפילוסוף ג'ורג' ברקלי ביקר את שיטותיהם של ניוטון ולייבניץ:
"אין לכנות את הדבר מדע, כאשר אתה מגשש כסומא בארובה ומגיע אל האמת מבלי לדעת כיצד, ובאילו אמצעים... המחבר הדגול של שיטת הפלוקציות חש בקושי הזה, ולפיכך הכניס בהן מידה הגונה של הפשטה ושל מטפיזיקה גאומטרית... הוא השתמש בפלוקציות כדרך שמשתמשים בפיגום של בניין, שלבסוף מסולק או נפטרים ממנו..."
הקושי הלוגי שהתעורר בחשבון האינפיניטסימלי גרם למתמטיקאים לעבור מעיסוק בגאומטריה לעיסוק בהגדרות לוגיות ובתורת המספרים.
הפתרון העיקרי שניתן בתחום החשבון האינפיניטסימלי היה החלפת המושג "גודל קטן עד אין סוף" במושג גבול. מושג הגבול מביע את הרעיון המופיע במושג "גודל קטן עד אין סוף", אולם ניסוחו המתמטי אינו יוצר קשיים לוגיים, מפני שהגבול שם נקודת גבול לאינסוף המתכנס ובכך שם סוג של סוף (גבול), או נקודת עצירה לאינסוף, או במילים אחרות, הופך את הרציפות לדבר המורכב מאובייקטים בדידים קטנים כרצוננו אך סופיים (אפסילון).
הפתרון העיקרי שניתן להגדרת המספרים האי-רציונליים, היה פיתוחה של תורת הקבוצות. קנטור פיתח מושגים ושיטות שבהן אין "תהליך אינסופי" (אינסוף פוטנציאלי) אלא קבוצות אינסופיות (אינסוף אקטואלי). בצורה זו ניתן להגדיר בכלים סופיים מהו מספר אי-רציונלי.
פתרונות אלו מאפשרים למתמטיקה המודרנית לעבוד עם גדלים אינסופיים. עם זאת, יש הטוענים שנותרו קשיים לוגיים עד היום במתמטיקה, בעיקר בגלל העבודה WITH גדלים אינסופיים.
כמו כן, פתרונות אלו עקפו את השאלות העמוקות בדבר אפשרות חלוקתו האינסופית של הרצף, וטיבם של גדלים קטנים לאינסוף. שאלות אלה הופרדו מן המתמטיקה והוכרזו כעניין לפסיכולוגיה, או לפילוסופיה, שאין לו נגיעה בעבודת המתמטיקאי. אך למעשה, רעיונות אלה נותרו חבויים באקסיומות שעליהן נשענים מושגי המספר והגבול.
מאחר שהמתמטיקה נפרדה מן הפילוסופיה, המתמטיקאים אינם עוסקים בשאלות כגון: "כיצד ניתן לתפוס שאוסף נקודות חסרות גודל יוצרות קו בעל גודל?" או "כיצד ניתן לתפוס תהליך אינסופי?"


@blackarch @אוהיו גוזאימאסו

מספר זה אחד הדברים הכי טריקיים במתמטיקה. אם הולכים אחורה הרבה מספרים שנחשבים היום מספרים לא היו נחשבים מספרים. זה רעיון שמתקדם. גם הבניה של קבוצת מספרים ופעולות מעניינת מבחינה היסטורית עד לבניה של מבנים, הקשר שלהם לתחומים שונים, הרבה קשר ללוגיקה ואז גם גילו חסרונות כמו המשפטי אי שלמות.

גם הN שזה natural יש רעיונות שזה בכלל מספר. ואז Z Zallen שזה גם מספר. הרציונלים נחשבו מספרים רק בשלב מאוחר מאוד.
אפילו 1 לא היה נחשב מספר תקופה ארוכה ואפילו 2. בגלל זה חשוב מאוד לשים לב בכל מקום מה הכוונה למספר.

אחת ההשלכות לפרדוקס של הפיתגוראים היה המעבר של המתמטיקה היוונית לגיאומטריה. גם לזה היה הרבה השלכות על הפילוסופיה היוונית. בלי זה הרבה תורות לא היו מתפתחות. חלק כבר דיברתי עליהם כמו התנועה המעגלית המושלמת והסימטריה של אפלטון ועד עולם האידאות. אולי אפתח על זה אשכול, וגם הסיפור של פיגמליון יכול להכנס כאן ב2 קריאות. גם אריסטוטלית של צורה מתגלמת בחומר, וגם ניאופלטונית של יצירה מתוך אידאה שמייצגת צורה מעגלית מושלמת וסימטרית. דבר שגם מאוד משמעותי בפילוסופיה של ימי הביניים שבמשך הרבה זמן המציאו מסלולים מיוחדים ותיקונים כדי לטעון שהגופים בשמיים נעים בתנועה מעגלית מושלמת.
היה כוכב, גלגל, נפש של הגלגל שמשיגה את השכל שמניע את הגלגל דבר שגם הרמב"ם חוזר עליו כמה פעמים.



קנטור גרם להרבה בעיות פילוסופיות ותיאולוגיות וגרם להרבה התנגדות להגדרה שלו. גם לזה שיש כמה אינסופים, האינסוף נחלק ואפילו לכמה קבוצות אינסופיות, וזה שיש כמה גדלים של אינסוף. אבל הוא תיאר אינסוף מתמטי שהוא שונה מאינסוף מטאפיזי, וגם שם לא בטוח שאלה אובייקטים קיימים. גם ויטגנשטיין יכול להכנס כאן. דעתו באופן פרדוקסלי מאוד קרובה לתפיסה היוונית.
הפרדוקסים יכולים להתקיים או לא להתקיים בהתאם להנחות. אבל אפשר גם לעבוד עם זה בלי להניח שקבוצות אינסופיות באמת קיימות כישויות ממשיות אונטולוגיות.


גם מה שיוצר את הישר הממשי זה לא רק אינסוף נקודות. זה גם צפיפות שקיימת גם ברציונלים, אבל אפשר לחשוב על זה כמספרים שממלאים את כל החלל בנקודות (שגם ההגדרה של נקודה בעייתית מאוד) שבין כל 2 מספרים יש מספר.
ובממשיים יש גם את אקסיומת השלמות/הסופרימום (תלוי לפי איזה ספרים הולכים אבל השני גם מוכח כמעט טריווילית מהשני). וזה מבטיח שאין חורים בישר הממשי מה שיוצר רציפות.

אם היה לי כוח הייתי מביא כמה שאלות מבוססות על אינפי שגם ממחישות את זה. אבל את ההמחשה מקבלים מההנחות שנראות טרוויליות. זה לא שאלות קלסיות באינפי.

 

[בנסון האתיופי]

זה נכון בעיקר היסטורית. היום זה מוגדר מספיק כדי להתייחס לזה.
הפרדוקס של אכילס והצב נפתר סופית באינפי 2 כששם יש מבחני התכנסות לטורים. אבל הבעיה הייתה בהנחה שסכום אינסופי לא יכול להיות סופי.
(כאן זה גם התכנסות בהחלט, בהתכנסות בתנאי הסיבה להתכנסות גם שונה מאוד וזה משחק בין חיוביים לשליליים).
יש עוד פרדוקסים לגבי שטחים שנפתרים עם אינטגרל מתכנס. בפועל שניהם קשורים כי אינטגרל זה סכום רציף וטור זה סכום בדיד.
הקשר בין בדידות לרציפות חוזר על עצמו הרבה במתמטיקה, פיזיקה ומדמח אבל לא חושב שצריך לפרט על כאן.


אני יותר מסתכל על זה כשינוי מחשבתי של ניוטון ולייבניץ בלי להתעכב יותר מדי על הפורמליות וניסיון לתאר את הטבע. ניוטון מעניין מאוד, כי מצד אחד הוא פילוסוף של הטבע מהאחרונים של הפילוסופים של הטבע עם גם נטיה לתחומים מוזרים ומצד שני בהרבה מובנים המדען הראשון.
את העבודה השחורה השאירו לצרפתים.



אינסוף פוטנציאלי הוא לא בלתי סופי. הוא אינסוף שהוא תהליך. למשל אם ניקח את הסדרה an=n זה לא מבנה שמכיל את כל הטבעיים ביחד. זה תהליך של ספירה. לזה אריסטו מתכוון כשהוא אומר אינסוף/απειρον

בלתי סופי זה מונח שהובא לדיון אצל שפינוזה, אתיקה, ח"א. וכן בעיון מורחב: איגרת על האינסוף.

 

[blackarch]

רציפות (פילוסופיה) – ויקיפדיה

he.wikipedia.org

העת העתיקה
רעיון הרציפות הופיע כבר בתחילת הפילוסופיה היוונית, אצל הפילוסוף אנכסגורס, אולם ההתמודדות העיקרית איתו נערכה על ידי מתמטיקאים. עם זאת, בעת העתיקה לא הייתה הבחנה ברורה בין מדע ופילוסופיה.
האסכולה הפיתגוראית פיתחה תורה שלמה סביב מספרים במאה החמישית לפני הספירה. הפיתגוראים האמינו כי המתמטיקה שלהם מתארת את העולם או שהיא זהה עם העולם. באותה עת, עסקו הפיתגוראים רק במספרים הנקראים כיום מספרים טבעיים (1,2,3...), ובשברים (מנה של שני מספרים טבעיים). הם נקלעו למבוכה כאשר ניסו לחשב את אורך היתר של משולש ישר-זווית שאורך כל אחד מניצביו הוא 1. אורך היתר במשולש זה הוא שורש 2. מספר זה אינו טבעי ואף אינו רציונלי (אינו ניתן להצגה כשבר). הפיתגוראים החליטו להתעלם ממספרים אלו, הנקראים כיום מספרים אי-רציונליים. כיום אנו יודעים שהישר הממשי (המכיל מספרים טבעיים, רציונליים ואי-רציונליים), הוא התגלמותה של הרציפות.
הפילוסוף זנון הציג התמודדות מעמיקה יותר עם הרציפות. מטרתו הייתה להוכיח את הטענה של רבו, פרמנידס, כי לא קיימת כלל חלוקה בעולם. לצורך כך ניסה זנון להראות באמצעות פרדוקסים כי גם חלוקה אטומית (בדידה) וגם חלוקה אינסופית (רציפות) מביאות לסתירות לוגיות. מנקודת מבט מודרנית, ניתן לסייג ולומר כי זנון הראה כי שתי צורות החלוקה הללו גורמות לקשיים אינטואיטיביים (בניגוד לסתירות לוגיות).
טענתו של זנון כנגד הרציפות הייתה כי כאשר מחלקים קו לאינסוף, יכולות להתקבל שתי תוצאות: האחת, שהקו מורכב מגדלים מאוד קטנים. השנייה, שהקו אינו מורכב מגדלים כלל. אם הקו מורכב מגדלים כלשהם, הרי שהוא לא רציף, אלא אטומי (בדיד). אם הקו אינו מורכב מגדלים כלל, אז כיצד הוא קיים? למרות שהפרדוקסים של זנון זכו לפתרונות מתמטיים כעבור כ-2,500 שנה, הקושי האינטואיטיבי נותר בעינו עד היום: כיצד ייתכן שאוסף נקודות חסרות גודל יוצר קו בעל גודל? כיצד ייתכן שיש מספרים שעצם הגדרתם היא תהליך אינסופי?
למרות הקושי האינטואיטיבי, כבר בתקופה זו פיתח ארכימדס חישוב המשתמש בחלוקה אינסופית, על מנת לחשב את שטח העיגול. ארכימדס הניח כי העיגול מכיל אינסוף משולשים צרים לאינסוף, ולכן אפשר לחשב את שטחו על בסיס הנוסחה לחישוב שטחו של משולש. ארכימדס הניח, אם כך, שניתן לעבוד עם המושג "קטן עד אינסוף", אולם טרם היו בידיו הכלים המתמטיים להגדיר זאת.
העת החדשה
בסוף המאה ה-17 וראשית המאה ה-18 המשיכו לייבניץ וניוטון את דרכו של ארכימדס ופיתחו חשבון המסוגל לחשב, בין היתר, את שטחן של צורות עקומות: חשבון אינפיניטסימלי. גם כאן נדרשה חלוקה אינסופית. הפעם הציב החישוב גם קשיים לוגיים. במהלך החישוב הופיע מושג האינפיניטסימל - "גודל קטן לאין סוף", שדרך ההתייחסות אליו הייתה כפולה: בראשית החישוב התייחסו אליו כגדול מאפס, ובהמשך החישוב התייחסו אליו כשווה ממש לאפס.
בתקופה זו עדיין היה קשר חזק יחסית בין המתמטיקה לפילוסופיה. ניוטון, ובעיקר לייבניץ, התייחסו בכתביהם למושג הרציפות האינטואיטיבי. לייבניץ ניסה להסביר מדוע לדעתו קיימת רציפות בטבע, כפי שהיא קיימת במתמטיקה. הפילוסוף ג'ורג' ברקלי ביקר את שיטותיהם של ניוטון ולייבניץ:
"אין לכנות את הדבר מדע, כאשר אתה מגשש כסומא בארובה ומגיע אל האמת מבלי לדעת כיצד, ובאילו אמצעים... המחבר הדגול של שיטת הפלוקציות חש בקושי הזה, ולפיכך הכניס בהן מידה הגונה של הפשטה ושל מטפיזיקה גאומטרית... הוא השתמש בפלוקציות כדרך שמשתמשים בפיגום של בניין, שלבסוף מסולק או נפטרים ממנו..."
הקושי הלוגי שהתעורר בחשבון האינפיניטסימלי גרם למתמטיקאים לעבור מעיסוק בגאומטריה לעיסוק בהגדרות לוגיות ובתורת המספרים.
הפתרון העיקרי שניתן בתחום החשבון האינפיניטסימלי היה החלפת המושג "גודל קטן עד אין סוף" במושג גבול. מושג הגבול מביע את הרעיון המופיע במושג "גודל קטן עד אין סוף", אולם ניסוחו המתמטי אינו יוצר קשיים לוגיים, מפני שהגבול שם נקודת גבול לאינסוף המתכנס ובכך שם סוג של סוף (גבול), או נקודת עצירה לאינסוף, או במילים אחרות, הופך את הרציפות לדבר המורכב מאובייקטים בדידים קטנים כרצוננו אך סופיים (אפסילון).
הפתרון העיקרי שניתן להגדרת המספרים האי-רציונליים, היה פיתוחה של תורת הקבוצות. קנטור פיתח מושגים ושיטות שבהן אין "תהליך אינסופי" (אינסוף פוטנציאלי) אלא קבוצות אינסופיות (אינסוף אקטואלי). בצורה זו ניתן להגדיר בכלים סופיים מהו מספר אי-רציונלי.
פתרונות אלו מאפשרים למתמטיקה המודרנית לעבוד עם גדלים אינסופיים. עם זאת, יש הטוענים שנותרו קשיים לוגיים עד היום במתמטיקה, בעיקר בגלל העבודה WITH גדלים אינסופיים.
כמו כן, פתרונות אלו עקפו את השאלות העמוקות בדבר אפשרות חלוקתו האינסופית של הרצף, וטיבם של גדלים קטנים לאינסוף. שאלות אלה הופרדו מן המתמטיקה והוכרזו כעניין לפסיכולוגיה, או לפילוסופיה, שאין לו נגיעה בעבודת המתמטיקאי. אך למעשה, רעיונות אלה נותרו חבויים באקסיומות שעליהן נשענים מושגי המספר והגבול.
מאחר שהמתמטיקה נפרדה מן הפילוסופיה, המתמטיקאים אינם עוסקים בשאלות כגון: "כיצד ניתן לתפוס שאוסף נקודות חסרות גודל יוצרות קו בעל גודל?" או "כיצד ניתן לתפוס תהליך אינסופי?"


@blackarch @אוהיו גוזאימאסו

The general opinion in theoretical physics had accepted the idea that the principle of continuity ("natura non facit saltus"), prevailing in the microsoptic world, is merely simulated by an averaging process in a world which in truth is discontinuous by its very nature. This simulation is such that a man generally percieves the sum of many billions of elementary processes simultaneously, so that the leveling law of large numbers completely obscures the real nature of the individual processes.