אינסוף מטאפיזי מול מתמטח, פלטוניזם מתמטי, מספרים סודרים, אקסיומת האינסוף שמובילה לשאלה איך קיים אינסוף בתוך אינסוף וחלוקה שמשהוה שאינו ניתן לחלוקה

[blackarch]

הפעם שוב אינסוף אקטואלי שאיתו יש בעיות פילוסופיות. נתחיל עם מספרים סודרים. רוב המשתמשים כאן כנראה לא נתקלו בהם כי לא מופיעים ברוב התארים בתחומים של נכים שגולשים כאן שאולי נתקלו באופן מאוד שטחי.
אבל בגדול מספר יכול לייצג מונה, כמו למשל 3 תפוחים. או לייצג סדר ואז 3 מגיע אחרי 2 ולפני 4. במספר אורדינלי/סודר למספרים יש משמעות אחרת.
יש כמה דרכים לבנות אותם. אחת המקובלות זה בניית פון ניומן. שבה הבניה אינדוקטיבית. 0 מיוצג על ידי הקבוצה הריקה ואז כל מספר הוא קבוצת כל המספרים עד עצמו.
אפשר לבנות כך כל מספר טבעי וזה לא הבעיה כאן. אקסיומת אינדוקציה מבטיחה שלכל מספר טבעי יש עוקב.
אבל אז יש גם את אקסיומת האינסוף בתורת הקבוצות ZF שמניחה שקיימת קבוצה שהקבוצה הריקה שייכת לה ולכל איבר ששייך אליה גם העוקב שלו שייך אליה.
כלומר זה מבנה שמחזיק את כל הטבעיים (הוא לא בהכרח קבוצה של מספרים מאחת הקבוצות הידועות אלה רק יכול להכיל קבוצה כזאת, לפחות מכיל את הטבעיים).
הקבוצה המינימלית האינסופית הזאת גם מיוצגת באומגה והיא המספר הסודר האינסופי "הקטן ביותר".
הוא גם לא עוקב של אף מספר סופי כי אם נניח שכן זה יהיה בסתירה לזה שיש אינסוף טבעיים.
אפשר להמשיך עם זה, יש כמה תכונות מאוד מעניינות והרבה דברים שאפשר לדבר עליו. למשל אין חילופיות אבל מתקיימת דיסטריביוטיביות. אבל זה פחות רלוונטי כאן.


מה שרלוונטי שיש כאן מבנה אינסופי של משהו שהוא מספר. זה לא אומר הרבה, אבל אם נניח פלטוניזם מתמטי אז יש כאן מבנה אינסופי, נחלק שקיים בתוך עולם אידיאות.
יש כאן גם שלמות שהיא ריבוי של איברים. כשהאינסוף המטאפיזי לא ניתן בכלל להבחנות או ריבוי.
לכאורה אחדות - קבוצה אחת
אבל ריבוי - מכילה איברים שונים.
יש כמובן גם יחסים שעליהם גם דיברתי קצת בתוך התפיסה ההגליאנית/אידיאליזם גרמני.
רוב המתמטיקאים הם פלטוניסטים, ובגלל זה קשה לי לחשוב איך הם יכולים להסביר שלמות באופן שהיא עדיין בלתי תלויה בחלקיה.
כאן אפשר לשאול אם הפעולה יוצרת את הריבוי או הריבוי יוצר את הפעולה.
אפשר לטעון שהיחסים בין המספרים, כמו העוקב, קיימים במבנה המתמטי ואז רק חושפים יחס שקיים. אבל כאן יש מספר אינסופי.
אפשר גם כאן לשאול אם האקסיומה מתארת שלמות שקיימת קודם ליחסים עצמו או שהיא נקבעת באמצעות יחס העוקב.

אבל שוב מגיעים לבעיה. אם השלמות מורכבת מיחסים, לכאורה יש כאן ריבוי. אלא אם היחסים מתארים אותה מהות, זה כבר קרוב מאוד לרעיון של השילוש. אני לא יודע איך לגשת לזה עדיין, אבל זה כיוון מעניין שאני צריך עוד לחשוב עליו. אם כי היחסים כאן שונים מאוד מהיחסים שבתוך השילוש.


כמובן שאני עדיין לא בטוח שהמושגים השונים של האינסוף כאן חופפים במידה מסויימת, זה עדיין מצריך בירור. אבל המתמטיקאי הפלטוניסט צריך להסביר כאן כמה דברים:

1. אם השלמות אינה ניתנת להבחנות
2. אם השלמות היא גם אינסופית במובן המתמטי
3. אם כל הבחנה שוללת את השלמות או יתכנו הבחנות בלי לפגוע באחדות של המציאות. ואם כן יתכנו איך זה קורה ולהציע תיאוריה עקבית.

וכמובן לפי הפלטוניזם הריבוי נובע מתוך מציאות של אחדות ופשטות מוחלטת. איך יכול להיות ריבוי בתוך אחדות מופשטת. אני לא יודע אם זה יותר שאלה פילוסופית או שאלה תיאולוגית, כי הדתות מאוד מתעסקות בזה עם הבחנות דקות שכל סטיה קטנה הופכת לכפירה.

לדעתי הכיוון היחיד כאן זה אבחנה בין שלמות מטאפיזית למתמטית, והשלמות המתמטית נובעת מהפשטות והאחדות. אבל אם נניח פלטוניזם יש עדיין בעיה באבחנות בתוך השכל שהוא מציאות שבו כבר יש ריבוי אבל מינימלי


@Memento Mori mem

 

[blackarch]

אני עדיין חושב איך אפשר לרדד ולהגיש את האינסוף בפיזיקה באופן שאנשים שהם לא פיזיקאים יצליחו להבין. כי שם זה כבר דברים שמתארים את המציאות ולא מבנים מתמטיים מופשטים ותיאורטיים. ושם גם לפעמים הסו9י מחליף את האינסופי. הבעיה שהפילוסופיה דורשת אבחנות מאוד דקות, שגם כאן לא תמיד עוברות כי אני מנסה לשמור על רמה כמה שיותר בסיסית במתמטיקה

 

[Memento Mori]

עד כמה אתה מאמין בפלטוניזם?

 

[Memento Mori]

לרב מיכי יש סדרת על אפלטוניזם,

https://www.youtube.com/watch?v=1fqdC4B9FJI

זה שיעור ראשון

אפלטוניזם – שיעור 1 - הרב מיכאל אברהם

תמלול זה בוצע באופן אוטומטי באמצעות בינה מלאכותית. ייתכנו אי-דיוקים בתוכן המתומלל ובזיהוי הדוברים. 🔗 קישור לשיעור המקורי 🔗 קישור לתמלול ב-Sofer.AI תוכן עניינים פתיחת הסדרה והקשר לפילוסופיה ולהלכה הסתייגות מתיאור היסטורי של אפלטון ואריסטו אפלטון, עולם האידאות, והכרה דרך הנשמה משל המערה והיחס בין...

mikyab.net

בין היתר הוא כתב טור בנושא פלטוניזם מתמטי. הוא שוטח פה טיעונים פילוסופיים מהגישות שרואות במושגים מתמטיים פיקציות שימושיות אל מול מהויות במציאות.

למעשה זו שאלה אונטולוגית על מעמד ישים מתמטיים, אני קטן אמונה בכול אופן..

 

[Memento Mori]

https://www.youtube.com/watch?v=YxgH5ykGwdQ

זה סרטון ישן שיצא לי לראות בנושא מאת Kane B. (הוא די tweaking אבל שיהיה)

 

[Memento Mori]

נמחקה התגובה בטעות ואז נכבה לי הטלפון קיצר עכשיו אתחיל לכתוב מחדש בתמצות :<


טענה חזקה לטובת ריאליזם תהיה לומר כמו גוטלוב פרגה

א. אריתמטיקה מבוססת על אמיתות אנליטיות וכן אפריורי

ב. מספר הינו שם עצם (מה שנקרא eigenname) המייצג אובייקטים עצמאיים ורוויים (קרי gesättigt).

ג. משוואות הן פסוקי זהות (לפי פרגה דכתב מושגים, סימן השוויון מבטא יחס זהות של פסוקים בעלי מובן שונה ומצד שני הוראה זהה לחלוטין)

ד. כדי שיהיה לפסוק אריתמטי מסוים ערך אמת חיובי, ז"א שיש על שמות פרופר משני צדי המשוואה להתלכד באובייקט קיים.

בנוסף, עבור פרגה מספרים אינם תארים או מושגים.

שמות העצם בשני צדי המשוואה בהכרח מורים אותו קיום אובייקט לוגי, וכן מגלים לנו שיש מספר במציאות.

מכאן הוא מבין בתנאי אמת של פסוק את מעמדו אונטית כהוא זה וכך גם במתמטיקה

 

[Memento Mori]

גם יצא לי לקרוא על הטיעון המוכר של קוויין-פטנאם

 

[Memento Mori]

נמחקה התגובה בטעות ואז נכבה לי הטלפון קיצר עכשיו אתחיל לכתוב מחדש בתמצות :<


טענה חזקה לטובת ריאליזם תהיה לומר כמו גוטלוב פרגה

א. אריתמטיקה מבוססת על אמיתות אנליטיות וכן אפריורי

ב. מספר הינו שם עצם (מה שנקרא eigenname) המייצג אובייקטים עצמאיים ורוויים (קרי gesättigt).

ג. משוואות הן פסוקי זהות (לפי פרגה דכתב מושגים, סימן השוויון מבטא יחס זהות של פסוקים בעלי מובן שונה ומצד שני הוראה זהה לחלוטין)

ד. כדי שיהיה לפסוק אריתמטי מסוים ערך אמת חיובי, ז"א שיש על שמות פרופר משני צדי המשוואה להתלכד באובייקט קיים.

בנוסף, עבור פרגה מספרים אינם תארים או מושגים.

שמות העצם בשני צדי המשוואה בהכרח מורים אותו קיום אובייקט לוגי, וכן מגלים לנו שיש מספר במציאות.

מכאן הוא מבין בתנאי אמת של פסוק את מעמדו אונטית כהוא זה וכך גם במתמטיקה

דייקתי את זה!

 

[Memento Mori]

אליבא דויטגנשטיין המוקדם פסוקים מתמטיים הם חסרי מובן, לא?

 

[Memento Mori]

זו הייתה חד משמעית התזה שלו בטרקטטוס..
הוא קרא למשוואות מתמטיות "משפטים מדומים"

 

[Memento Mori]

6.2 המתמטיקה היא שיטה לוגית.
משפטי המתמטיקה הם משוואות, ועל כן משפטים מדומים.
6.21 משפט במתמטיקה אינו מבטא מחשבה.
6.211 מה שאנו זקוקים לו בחיים, לעולם אינו משפט מתמטי, אנו מנצלים משפט מתמטי רק כדי להסיק משפט שאינו שייך למתמטיקה ממשפטים אחרים, שאף הם אינם שייכים למתמטיקה.
(השאלה: "לשם מה, בעצם, משתמשים אנו במלה זו, במשפט זה?" מובילה בפילוסופיה בכל פעם להארה רבת־ערך.)
6.22 את הלוגיקה של העולם מראים משפטי הלוגיקה בטאוטולוגיות, והמתמטיקה במשוואות.
6.23 ששני ביטויים קשורים בסימן השוויון, פירושו, שניתן להמירם זה בזה. אך האם אמנם כך הוא – זה צריך להיות גלוי מתוך שני הביטויים הללו עצמם.
הרשות להמיר שני ביטויים זה בזה היא אפיון של צורתם הלוגית.
6.231 זוהי תכונה של החיוב, שניתן לתפסו כשלילה כפולה.
זוהי תכונה של "1+1+1+1" שניתן לתפסו כ־"(1+1)+(1+1)".
6.232 פרגה אמר שלשני הביטויים יש אותה משמעות, אך מובנים שונים.
אבל מה שמהותי למשוואה הוא, שאין צורך בה כדי להראות שלשני הביטויים הקשורים בסימן־השוויון יש אותה משמעות, שכן ניתן לראות זאת בשני הביטויים הללו עצמם.
6.2321 היכולת להוכיח את משפטי המתמטיקה אין משמעה אלא זאת: ניתן לראות את נכונותם בלא שנצטרך להשוות את מה שהם מבטאים עם העובדות, כדי להיווכח בנכונותו.
6.2322 אי אפשר לטעון לזהות־המשמעות של שני ביטויים. כדי שאוכל לטעון משהו על אודות משמעותם, עלי לדעת את משמעותם, וביודעי את משמעותם, יודע אני אם יש להם אותה משמעות, או משמעויות שונות.
6.2323 משוואה מאפיינת רק את הנקודה שממנה אני מביט בשני הביטויים, דהיינו, נקודת המבט של זהות משמעויותיהם.
6.233 על השאלה, האם יש צורך בהתבוננות כדי לפתור בעיות מתמטיות, יש להשיב עתה כך: השפה עצמה מספקת את ההתבוננות הדרושה כאן.
6.2331 תהליך החישוב מתווך בהשגת התבוננות זו.
החישוב אינו ניסוי.
6.234 המתמטיקה היא שיטה של הלוגיקה.
6.2341 המהותי בשיטה המתמטית הוא העבודה במשוואות. שיטה זו היא הסיבה לכך שכל משפט של המתמטיקה חייב להיות מובן מאליו.
6.24 כדי להגיע למשוואות משתמשת המתמטיקה בשיטת ההמרה. המשוואות מבטאות את היותם של שני ביטויים ברי־המרה, ואנו מתקדמים ממספר משוואות למשוואות חדשות בכך שאנו ממירים ביטויים בביטויים אחרים, בהתאם למשוואות.
6.241 כך נראית הוכחת המשפט 2x2=4:
((Ω^ν)^μ) x = Ω^(ν x μ) x Def.,
Ω^(2 x 2) x = (Ω^2)^2 x = (Ω^2)^(1+1) x = Ω^2 Ω^2 x = Ω^(1+1) Ω^(1+1) x = (Ω Ω)(Ω Ω) x = Ω Ω Ω Ω x = Ω^(1+1+1+1) x = Ω^4 x.

 

[Memento Mori]

מאניין. בעיני ויטגנשטיין מתמטיקה היא שפה המבוססות על עובדות לוגיות (קרי טאוטולוגיה). זאת קיימת במנותק מהמרחב האימננטי ולכן יש לשתוק אודותיה.
לא שהערך הזה חידש לי אבל ויטגנשטיין קוסם לי

ויטגנשטיין באופן כללי היה פסימי לגבי הטרנסצנדנטי (למרות שיש שרואים בו מיסטיקן, כמו שהעיד עליו מורהו ראסל...)

השפעה ופרשנות

הספר עוסק כמעט בכל תחומי הפילוסופיה, אך אחת מהשפעותיו העיקריות הייתה על הפילוסופיה של המדע. הספר עיצב את תפיסת הפוזיטיביזם הלוגי ונחשב כבר בזמנו לשיאה. תפיסה זו מנסה להציע תאוריה פילוסופית שבאמצעותה ניתן לאתר עובדות אטומיות שעל בסיסן בונים את כל העולם הנחשב והנתפש - הן מבחינה מדעית והן מבחינת התפישה והמחשבה האפשרית של האדם. אין מדובר בעובדות פיזיקליות, אלא ב"עובדות" לוגיות. הפילוסופיה אינה עוסקת במה שישנו, בקונטינגנטי, אלא במה שאפשרי לוגית, קרי, בהכרחי. היות שפילוסופיה היא דבר אשר אינו נבנה על עובדות טבע, אזי, במובן זה, לא ניתן לדבר על תזה פילוסופית כעל דבר שניתן להוכחה מדעית.

ויטגנשטיין עצמו הרחיק עצמו מן הפוזיטיביסטים, וחשב שמרביתם, איתם היה בקשרים קרובים, לא הבינו את הפילוסופיה שלו. יש פרשנים הסבורים שוויטגנשטיין לא ניסה להציע תאוריה כלשהי בטרקטט, אלא להביא את היומרה הפילוסופית התאורטית של הפוזיטיביזם לכדי אבסורד. זאת, על ידי ניסוח תורה מושלמת, והמחשה כיצד היא קורסת משהיא מושלמת: משפטי התאוריה הם חסרי מובן, וזאת על פי הקריטריונים הקשיחים שמנסחת התאוריה עצמה.

היום יש פרשנים הסבורים, כמו הפוזיטיביסטים בזמנו, שהטרקטט שייך לתקופה המודרנית. פרשנים אלו סבורים שהספר אכן מציע תאוריה פילוסופית, ולראיה הם מציגים, למשל, את מבנהו היהלומי. פרשנים אחרים סבורים שהספר רחוק מהמודרנה, ואף נותן כלים להתנגד לה על ידי הבאתה לכדי אבסורד. מבנהו של הטרקטט, בחירתו של ויטגנשטיין בסגנון כתיבה זה, נועד להמחיש כיצד יהלום פילוסופי הוא בבחינת פנטזיה ותו לא. במידה רבה הספר, על פי השקפת פרשנים אלו, הוא ספר אירוני.

על פי התאוריה שהספר מציע (או נראה כמציע), ישנם שני צדדים לאותו מטבע - העולם והחושב על העולם. המחשבה מגיעה עד העולם - בכך היא מחשבה על אודות העולם - ואינה מפספסת אותו. אין פירושו שלא ניתן לטעות, לחשוב מחשבות שגויות, אך לא ניתן לטעות במחשבה שתוכן המחשבה שלנו הוא שכך וכך הם הדברים. כלומר, אם אנחנו בכלל חושבים, אזי נושא המחשבות שלנו הוא העולם - יהיו אלה מחשבות שגויות או נכונות. המחשבה אינה יכולה לחצות את גבולות הלוגיקה, שכן מחשבה היא יציר לוגי. אין לחשוב באופן לא לוגי.

הספר מסתיים במשפט היסודי השביעי המפורסם: "מה שעליו לא ניתן לדבר, על אודותיו יש לשתוק". בשונה מכל משפטי היסוד הקודמים - שמהם גוזר ויטגנשטיין משפטי משנה וכו', הרי שמהמשפט היסודי האחרון - לא גוזר ויטגנשטיין דבר, ובמקום זאת הספר מגיע לנקודת השתיקה - שהיא סוף הספר - מה שבפועל מאושש (באופן גאוני) את עצם הטענה המקופלת בתוך המשפט היסודי האחרון. מעבר להבחנה החמורה בין מדעי הטבע לפילוסופיה, ולשתיקה המדעית שוויטגנשטיין גוזר בכך על הפילוסופים, ניתן לפרש את המשפט היסודי השביעי בכמה דרכים. דרך אחת, זו של אלו הסוברים שהטרקטט מנסח תאוריה, מפרשת משפט זה כאילו הוא מוכיח את טענתו שאין מחשבה מחוץ ללוגיקה - שגבולות השפה (הגבול בין מה שהוא בעל מובן לבין מה שהוא חסר מובן) שורטטו מתוך השפה, ולא מחוצה לה. דרך אחרת לפרש משפט זה, היא דרכם של החוקרים הסבורים שוויטגנשטיין לא ניסה להציע תאוריה: חוקרים אלו סבורים שמשפט זה אומר שפילוסופיה הוא דבר שלא ניתן לדבר עליו כלל (כלומר הוא תחום ריק מתוכן, ולמעשה אינו תחום כלל, אלא רק אשליה של תחום).

לאחר סיום כתיבת הספר הכריז ויטגנשטיין שאין מה לדון יותר בפילוסופיה, אבל אחרי כמה שנים שבהן לימד בתיכון הוא חזר בו בטענה שיש כמה מילים שלא מסתדרות עם התאוריה שהמילים והלשון הם הדרך לתאר את העולם. למשל: "או" ו-"ו". התובנות החדשות הללו הובילו אותו לעבוד על ספרו החדש חקירות פילוסופיות שלא זכה להשלים בימי חייו והוא פורסם רק לאחר מותו. הספר כתוב בסגנון אחר לגמרי מ"טרקטט לוגי-פילוסופי" - לא במבנה לוגי קפדני אלא כדיון בשפה רגילה ולא תמציתית. הספר בוחן תאוריות שונות תוך עיסוק בשפה האנושית ובמה שיש ביכולתה להביע.

 

[blackarch]

נמחקה התגובה בטעות ואז נכבה לי הטלפון קיצר עכשיו אתחיל לכתוב מחדש בתמצות :<


טענה חזקה לטובת ריאליזם תהיה לומר כמו גוטלוב פרגה

א. אריתמטיקה מבוססת על אמיתות אנליטיות וכן אפריורי

ב. מספר הינו שם עצם (מה שנקרא eigenname) המייצג אובייקטים עצמאיים ורוויים (קרי gesättigt).

ג. משוואות הן פסוקי זהות (לפי פרגה דכתב מושגים, סימן השוויון מבטא יחס זהות של פסוקים בעלי מובן שונה ומצד שני הוראה זהה לחלוטין)

ד. כדי שיהיה לפסוק אריתמטי מסוים ערך אמת חיובי, ז"א שיש על שמות פרופר משני צדי המשוואה להתלכד באובייקט קיים.

בנוסף, עבור פרגה מספרים אינם תארים או מושגים.

שמות העצם בשני צדי המשוואה בהכרח מורים אותו קיום אובייקט לוגי, וכן מגלים לנו שיש מספר במציאות.

מכאן הוא מבין בתנאי אמת של פסוק את מעמדו אונטית כהוא זה וכך גם במתמטיקה

כן. לפי פרגה פסוקים אריתמטיים לא מתארים רק תכונות של עצמים אמפיריים הם מבטאים מחשבות אובייקטיביות שלכל אחת יש ערך אמת.
המספרים או הייצוג שלהם מתפקדים כשמות של אובייקטים ומשוואות זהות של שני האגפים. אבל שם יש אבחנה בין מה שקורא לו sinn לBedeutung.
Sinn זה המובן וBedeutung זה ההוראה. ההצגה היא שונה אבל ההוראה של שני האגפים זהה. זה יכול להוביל לריאליזם כשהמספרים קיימים במציאות ועליהם יש טענות שונות בעלות ערך אמת.
אבל לא בהכרח. כי יכול להיות שלביטוי יש הוראה, היא עצמה אובייקט, משוואה תראה על זהות בין ההוראות של שני האגפים אבל זה חייב להוביל לזה שקיימים מספרים אמיתיים מחוץ למתמטיקה או לשפה.
אחד שמתנגד לריאליזם יכול לטעון שההנחה לא הכרחית ולערער על הנחה שכל ביטוי סמנטי מתאים לאובייקט מופשט ממשי בעל קיום אונטולוגי.
צריך כאן עוד קפיצה שבה צריך להראות/לקבל הנחה נוספת שקיום סמנטי גורר בהכרח לקיום אונטולוגי.

זה גם יכול להתחבר לפילוסופיה עתיקה. אריסטוטלי לא מקבל את הטענה שלמספרים יש קיום אמיתי. הם רק מראים על מניה של דברים שיש להם גבול. אבל הוא גם לא יקבל את ההנחה שאריתמטיקה נובעת מתצפיות אמפיריות או מצבים נפשיים.
בימי הביניים הלמידה והדברים שמוציאים ממנה שזהים אצל כולם חיזקו את הטענה שיש רק שכל פועל אחד.
האריתמטיקה יכולה פשוט להיות דרך הסקה שמסתדרת במציאות ומתבססת על אמיתויות אנליטיות ואפרוריות אבל לא בהכרח שהמספרים קיימים אונטולוגית

 

[blackarch]

6.2 המתמטיקה היא שיטה לוגית.
משפטי המתמטיקה הם משוואות, ועל כן משפטים מדומים.
6.21 משפט במתמטיקה אינו מבטא מחשבה.
6.211 מה שאנו זקוקים לו בחיים, לעולם אינו משפט מתמטי, אנו מנצלים משפט מתמטי רק כדי להסיק משפט שאינו שייך למתמטיקה ממשפטים אחרים, שאף הם אינם שייכים למתמטיקה.
(השאלה: "לשם מה, בעצם, משתמשים אנו במלה זו, במשפט זה?" מובילה בפילוסופיה בכל פעם להארה רבת־ערך.)
6.22 את הלוגיקה של העולם מראים משפטי הלוגיקה בטאוטולוגיות, והמתמטיקה במשוואות.
6.23 ששני ביטויים קשורים בסימן השוויון, פירושו, שניתן להמירם זה בזה. אך האם אמנם כך הוא – זה צריך להיות גלוי מתוך שני הביטויים הללו עצמם.
הרשות להמיר שני ביטויים זה בזה היא אפיון של צורתם הלוגית.
6.231 זוהי תכונה של החיוב, שניתן לתפסו כשלילה כפולה.
זוהי תכונה של "1+1+1+1" שניתן לתפסו כ־"(1+1)+(1+1)".
6.232 פרגה אמר שלשני הביטויים יש אותה משמעות, אך מובנים שונים.
אבל מה שמהותי למשוואה הוא, שאין צורך בה כדי להראות שלשני הביטויים הקשורים בסימן־השוויון יש אותה משמעות, שכן ניתן לראות זאת בשני הביטויים הללו עצמם.
6.2321 היכולת להוכיח את משפטי המתמטיקה אין משמעה אלא זאת: ניתן לראות את נכונותם בלא שנצטרך להשוות את מה שהם מבטאים עם העובדות, כדי להיווכח בנכונותו.
6.2322 אי אפשר לטעון לזהות־המשמעות של שני ביטויים. כדי שאוכל לטעון משהו על אודות משמעותם, עלי לדעת את משמעותם, וביודעי את משמעותם, יודע אני אם יש להם אותה משמעות, או משמעויות שונות.
6.2323 משוואה מאפיינת רק את הנקודה שממנה אני מביט בשני הביטויים, דהיינו, נקודת המבט של זהות משמעויותיהם.
6.233 על השאלה, האם יש צורך בהתבוננות כדי לפתור בעיות מתמטיות, יש להשיב עתה כך: השפה עצמה מספקת את ההתבוננות הדרושה כאן.
6.2331 תהליך החישוב מתווך בהשגת התבוננות זו.
החישוב אינו ניסוי.
6.234 המתמטיקה היא שיטה של הלוגיקה.
6.2341 המהותי בשיטה המתמטית הוא העבודה במשוואות. שיטה זו היא הסיבה לכך שכל משפט של המתמטיקה חייב להיות מובן מאליו.
6.24 כדי להגיע למשוואות משתמשת המתמטיקה בשיטת ההמרה. המשוואות מבטאות את היותם של שני ביטויים ברי־המרה, ואנו מתקדמים ממספר משוואות למשוואות חדשות בכך שאנו ממירים ביטויים בביטויים אחרים, בהתאם למשוואות.
6.241 כך נראית הוכחת המשפט 2x2=4:
((Ω^ν)^μ) x = Ω^(ν x μ) x Def.,
Ω^(2 x 2) x = (Ω^2)^2 x = (Ω^2)^(1+1) x = Ω^2 Ω^2 x = Ω^(1+1) Ω^(1+1) x = (Ω Ω)(Ω Ω) x = Ω Ω Ω Ω x = Ω^(1+1+1+1) x = Ω^4 x.

שים לב גם שכאן דיברתי על מספרים אורדינליים וגם הכנסתי את פעולה החיבור. ביא פועלת שונה מאשר במספרים קרדינליים. למשל חילופיות לא בהכרח מתקיימת כאן.
למשל 1 + אומגה זה אומגה, אבל אומגה + 1 כולל בתוכו את אומגה עצמו ולכן הם שונים. בהוכחה בסוף זה מבוסס על דיסטריביוטיות אז כנראה זה יעבוד

 

[blackarch]

למעשה אומגה ועוד 1 זה העוקב של אומגה. אומגה עצמה היא לא עוקב של אף מספר. נובע כמעט טריווילית מזה שיש אינסוף טבעיים

 

[Memento Mori]

כן. לפי פרגה פסוקים אריתמטיים לא מתארים רק תכונות של עצמים אמפיריים הם מבטאים מחשבות אובייקטיביות שלכל אחת יש ערך אמת.
המספרים או הייצוג שלהם מתפקדים כשמות של אובייקטים ומשוואות זהות של שני האגפים. אבל שם יש אבחנה בין מה שקורא לו sinn לBedeutung.
Sinn זה המובן וBedeutung זה ההוראה. ההצגה היא שונה אבל ההוראה של שני האגפים זהה. זה יכול להוביל לריאליזם כשהמספרים קיימים במציאות ועליהם יש טענות שונות בעלות ערך אמת.
אבל לא בהכרח. כי יכול להיות שלביטוי יש הוראה, היא עצמה אובייקט, משוואה תראה על זהות בין ההוראות של שני האגפים אבל זה חייב להוביל לזה שקיימים מספרים אמיתיים מחוץ למתמטיקה או לשפה.
אחד שמתנגד לריאליזם יכול לטעון שההנחה לא הכרחית ולערער על הנחה שכל ביטוי סמנטי מתאים לאובייקט מופשט ממשי בעל קיום אונטולוגי.
צריך כאן עוד קפיצה שבה צריך להראות/לקבל הנחה נוספת שקיום סמנטי גורר בהכרח לקיום אונטולוגי.

זה גם יכול להתחבר לפילוסופיה עתיקה. אריסטוטלי לא מקבל את הטענה שלמספרים יש קיום אמיתי. הם רק מראים על מניה של דברים שיש להם גבול. אבל הוא גם לא יקבל את ההנחה שאריתמטיקה נובעת מתצפיות אמפיריות או מצבים נפשיים.
בימי הביניים הלמידה והדברים שמוציאים ממנה שזהים אצל כולם חיזקו את הטענה שיש רק שכל פועל אחד.
האריתמטיקה יכולה פשוט להיות דרך הסקה שמסתדרת במציאות ומתבססת על אמיתויות אנליטיות ואפרוריות אבל לא בהכרח שהמספרים קיימים אונטולוגית

לגבי האחרון: ארצה להוסיף על האבחנה החדה של המדען הנאצ* בין מובן (משפט המביע מחשבה) להוראה (ערך האמת - "חיובי" / "שלילי"). זה נכון עבור משפטים כגון, למשל: "כוכב הבוקר הוא כוכב הערב". החידוש: יש לו מובנים שונים (דרכים שונות לייצג את הכוכב בשעות היום), למרות שההוראה שלו זהה לחלוטין ושני חלקי המשפט מתייחסים לאותו אובייקט בעולם הפיזי.
הבנת תנאי האמת הינה הבנת המשמעות של המשפט פשיטא (ר"ל מה שחייב לקרות כדי שהוא יתקיים).

 

[Memento Mori]

בניסוח ויטגנשטייניאני: תנאי האמת זה מצב העניינים בעולם שבו הפסוק הזה מתקיים.

 

[Memento Mori]

כן. לפי פרגה פסוקים אריתמטיים לא מתארים רק תכונות של עצמים אמפיריים הם מבטאים מחשבות אובייקטיביות שלכל אחת יש ערך אמת.
המספרים או הייצוג שלהם מתפקדים כשמות של אובייקטים ומשוואות זהות של שני האגפים. אבל שם יש אבחנה בין מה שקורא לו sinn לBedeutung.
Sinn זה המובן וBedeutung זה ההוראה. ההצגה היא שונה אבל ההוראה של שני האגפים זהה. זה יכול להוביל לריאליזם כשהמספרים קיימים במציאות ועליהם יש טענות שונות בעלות ערך אמת.
אבל לא בהכרח. כי יכול להיות שלביטוי יש הוראה, היא עצמה אובייקט, משוואה תראה על זהות בין ההוראות של שני האגפים אבל זה חייב להוביל לזה שקיימים מספרים אמיתיים מחוץ למתמטיקה או לשפה.
אחד שמתנגד לריאליזם יכול לטעון שההנחה לא הכרחית ולערער על הנחה שכל ביטוי סמנטי מתאים לאובייקט מופשט ממשי בעל קיום אונטולוגי.
צריך כאן עוד קפיצה שבה צריך להראות/לקבל הנחה נוספת שקיום סמנטי גורר בהכרח לקיום אונטולוגי.

זה גם יכול להתחבר לפילוסופיה עתיקה. אריסטוטלי לא מקבל את הטענה שלמספרים יש קיום אמיתי. הם רק מראים על מניה של דברים שיש להם גבול. אבל הוא גם לא יקבל את ההנחה שאריתמטיקה נובעת מתצפיות אמפיריות או מצבים נפשיים.
בימי הביניים הלמידה והדברים שמוציאים ממנה שזהים אצל כולם חיזקו את הטענה שיש רק שכל פועל אחד.
האריתמטיקה יכולה פשוט להיות דרך הסקה שמסתדרת במציאות ומתבססת על אמיתויות אנליטיות ואפרוריות אבל לא בהכרח שהמספרים קיימים אונטולוגית

כתבתי לך על דעתו של אריסטו הדגול בנושא פילוסופיה של המתמטיקה, וזה נקרא Aristotelianism. די מאניין

מפרסם שוב

Aristotle and Mathematics (Stanford Encyclopedia of Philosophy)

"דרך אגב

דעתו של אריסטו אריסטו בנושא מתמטיקה מזכירה פיקציונליזם

מעולם לא הבנתי למה זה לא מושמע בפילוסופיא של המתמטיקה כחלופה לפלטוניזם.

זאת לא נראת כמו מתחרה הכי טבעית שיש?"

"Fictionalism דומה אבל לא בדיוק.

פיקציונליזם לוקח הנחות יסוד אפלטוניות ואז משנה את המסקנות כך שיתאימו למסגרת נומנליסטית... אבל למה לא פשוט לצאת מנקודת הנחה אריסטוטלית מלכתחילה (כמו בדיכוטומיה היסטורית בין אידיאליזם לריאליזם)
'Aristotelianism' משהו?"

"בפילוסופיה אריסטוטלית, ריאליזם של המתמטיקה, בו המבנה המתמטי לא קיים כישות עצמאית. הוא תוצר של הפשטה, כאשר השכל מחלץ מן הדברים המוחשיים תכונות מסוימות.

למשל, בגיאומטריה: קו, נקודה או מעגל, אותן הפשטות של התכונות, כך שנוצר בראשנו דימוי מופשט, שאינו "דבר" שקיים בדיוק בעולם הממשי הסופי, אלא מאין הפשטה מן תכונה המצויה בחומר. אליבא דאריסטו, המתמטיקה משמשת לגילוי תכונות על ישים פיזיקליים; מצד שני, זה לא מטריא. וגם לא תוצר של פיקציה מושגית נטו.
המושג של אינסוף נתפש במקרה הזה כפונציאל, לא במובן אקטואלי.

במובן זה, המבנה הגיאומטרי עצמו הוא רק כלי מופשט שנוצר מרצון להתקרב לצורות המופשטת שלה החומר, אבל לא ישות עצמאית הקיימת בשלמותה, בנפרד מן המציאות המוחשית. כמו אצל אידיאליזמוס.

פילוסוף שלא אנקוב בשמו (הנאצי שר"י), בעל ערגה לאריסטו, מכנה זאת "אונטולוגיה רטורית" בחדות, מלשון שפת דיבור. אבחנה שנונה משהו.

אשמח לשמוע את דעתך. אם יש לך השגה, אז אתה מוזמן להביא אותה כמובן."


"בקיצור אריסטו באפיסטמולוגיה שלו מסווג את המתמטיקה בתור מדע עיוני שנועד לפשט את התכונות הכמותיות והצורניות מן החומר. אפשי להבין מפה את המוגבלות של הרעיון, נכון לעכשיו, בהשוואה לימים עברו.

המתמטיקה מזמן עברה כל גבול דמיוני. מרחבים בעלי ממדים גבוהים, אינסופים בעוצמות שונות, מבנים מופשטים שאינם ניתנים להמחשה, וישויות מתמטיות שכל קשר ביניהן למציאות מקרי בהחלט. המתמטיקה כבר אינה תלויה ביכולת שלנו להתאים אותה לתמונת המציאות, אלא ביחסים הנגזרים מאקסיומות במערכת, יישום זה רק בונוס"

....

 

[Memento Mori]

כתבתי לך על דעתו של אריסטו הדגול בנושא פילוסופיה של המתמטיקה, וזה נקרא Aristotelianism. די מאניין

מפרסם שוב

Aristotle and Mathematics (Stanford Encyclopedia of Philosophy)

"דרך אגב

דעתו של אריסטו אריסטו בנושא מתמטיקה מזכירה פיקציונליזם

מעולם לא הבנתי למה זה לא מושמע בפילוסופיא של המתמטיקה כחלופה לפלטוניזם.

זאת לא נראת כמו מתחרה הכי טבעית שיש?"

"Fictionalism דומה אבל לא בדיוק.

פיקציונליזם לוקח הנחות יסוד אפלטוניות ואז משנה את המסקנות כך שיתאימו למסגרת נומנליסטית... אבל למה לא פשוט לצאת מנקודת הנחה אריסטוטלית מלכתחילה (כמו בדיכוטומיה היסטורית בין אידיאליזם לריאליזם)
'Aristotelianism' משהו?"

"בפילוסופיה אריסטוטלית, ריאליזם של המתמטיקה, בו המבנה המתמטי לא קיים כישות עצמאית. הוא תוצר של הפשטה, כאשר השכל מחלץ מן הדברים המוחשיים תכונות מסוימות.

למשל, בגיאומטריה: קו, נקודה או מעגל, אותן הפשטות של התכונות, כך שנוצר בראשנו דימוי מופשט, שאינו "דבר" שקיים בדיוק בעולם הממשי הסופי, אלא מאין הפשטה מן תכונה המצויה בחומר. אליבא דאריסטו, המתמטיקה משמשת לגילוי תכונות על ישים פיזיקליים; מצד שני, זה לא מטריא. וגם לא תוצר של פיקציה מושגית נטו.
המושג של אינסוף נתפש במקרה הזה כפונציאל, לא במובן אקטואלי.

במובן זה, המבנה הגיאומטרי עצמו הוא רק כלי מופשט שנוצר מרצון להתקרב לצורות המופשטת שלה החומר, אבל לא ישות עצמאית הקיימת בשלמותה, בנפרד מן המציאות המוחשית. כמו אצל אידיאליזמוס.

פילוסוף שלא אנקוב בשמו (הנאצי שר"י), בעל ערגה לאריסטו, מכנה זאת "אונטולוגיה רטורית" בחדות, מלשון שפת דיבור. אבחנה שנונה משהו.

אשמח לשמוע את דעתך. אם יש לך השגה, אז אתה מוזמן להביא אותה כמובן."


"בקיצור אריסטו באפיסטמולוגיה שלו מסווג את המתמטיקה בתור מדע עיוני שנועד לפשט את התכונות הכמותיות והצורניות מן החומר. אפשי להבין מפה את המוגבלות של הרעיון, נכון לעכשיו, בהשוואה לימים עברו.

המתמטיקה מזמן עברה כל גבול דמיוני. מרחבים בעלי ממדים גבוהים, אינסופים בעוצמות שונות, מבנים מופשטים שאינם ניתנים להמחשה, וישויות מתמטיות שכל קשר ביניהן למציאות מקרי בהחלט. המתמטיקה כבר אינה תלויה ביכולת שלנו להתאים אותה לתמונת המציאות, אלא ביחסים הנגזרים מאקסיומות במערכת, יישום זה רק בונוס"

....

יש פה כפל משמעות שמפריע לדיון

 

[Memento Mori]

נמחקה התגובה בטעות ואז נכבה לי הטלפון קיצר עכשיו אתחיל לכתוב מחדש בתמצות :<


טענה חזקה לטובת ריאליזם תהיה לומר כמו גוטלוב פרגה

א. אריתמטיקה מבוססת על אמיתות אנליטיות וכן אפריורי

ב. מספר הינו שם עצם (מה שנקרא eigenname) המייצג אובייקטים עצמאיים ורוויים (קרי gesättigt).

ג. משוואות הן פסוקי זהות (לפי פרגה דכתב מושגים, סימן השוויון מבטא יחס זהות של פסוקים בעלי מובן שונה ומצד שני הוראה זהה לחלוטין)

ד. כדי שיהיה לפסוק אריתמטי מסוים ערך אמת חיובי, ז"א שיש על שמות פרופר משני צדי המשוואה להתלכד באובייקט קיים.

בנוסף, עבור פרגה מספרים אינם תארים או מושגים.

שמות העצם בשני צדי המשוואה בהכרח מורים אותו קיום אובייקט לוגי, וכן מגלים לנו שיש מספר במציאות.

מכאן הוא מבין בתנאי אמת של פסוק את מעמדו אונטית כהוא זה וכך גם במתמטיקה

עכשיו פתחתי בכתב מושגים לפרגה. חיפשתי את המאמר בו כתב על 'שוויון ותוכן' בתחילת הספר. [ישנה הקדמת עורך, גם לאחר מכן פרגה מרחיב על מושג הפונקציה (Begriff). אנסה להביא הכול] זה מעניין, בפרט בהקשר להערה בסוגריים בסעיף ג. נ"ב אני מעתיק את הקטע ע"י צ'אט בוט ג'מיניי, ייתכנו שגיאות (סורק את הכתב). בכתיבה של פרגה הוא משתמש רבות באבחנה 'ungesättigt' / 'gesättigt' (=בלתי רווי, מונח פרגיאני שבא לציין פרדיקטים או מושגים (הפונקציות). לעומת זאת, רווי מציין את הארגומנטים או האובייקטים).ממליץ בחום לקרוא את הספר.

הציטוט שם: (גוטלוב פרגה, "כתב מושגים", פרק א: 'הסבר הסימנים', עמ' 25-29 [ספריית לויתן: ספרי מופת בפילוסופיה, בעריכת גלעד ברעלי ובתרגומו, הוצאת המרכז האקדמי שלם, תשס"ד-2004]).​

שוויון התוכן
88. שוויון תוכן (Inhaltsgleichheit) נבדל מן ההתניות ומן השלילה בכך שהוא מתייחס לשמות ולא לתכנים. בעוד שבמקרים אחרים הסימנים מייצגים את התכנים שלהם, כך שכל הרכב שבו הם מופיעים נותן ביטוי ליחס שבין התכנים, הרי שכשהם מקושרים על ידי הסימן לשוויון תוכן הם נושאים, לפתע, את עצמם; שכן בכך הם מציינים את המצב ששני שמות יש להם אותו תוכן. כך, כשמנהיגים סימן לשוויון תוכן נוצר בהכרח פיצול במשמעות של כל הסימנים, כשאותו סימן עומד פעם במקום תוכנו ופעם במקום עצמו. במבט ראשון נוצר רושם כאילו עוסקים כאן במשהו ששייך לסימן עצמו, ולא לתוכן, וכאילו איננו זקוקים כלל לסימנים שונים לאותו תוכן ומן הסתם גם לא לסימן של שוויון תוכן. בשביל להציג את בטלותו של רושם זה בבהירות אקח דוגמא מן הגיאומטריה. על מעגל נמצאת נקודה קבועה A, שממנה נמשכת קרן. כשקרן זו היא הקוטר העובר דרך מרכז המעגל, אנו מכנים את הנקודה הנגדית שבה הקרן חותכת את המעגל נקודה B ביחס למצב זה של הקרן. נכנה כל נקודה שבה הקרן חותכת את המעגל, נקודה B ביחס למצב הקרן, כזו שניתנת על ידי הכלל ששינוי רציף של מצב הקרן מתאים לשינוי רציף של הנקודה B. השם B מציין כאן דבר מה לא־קבוע, כל עוד מצב הקרן לא נקבע. אפשר כעת לשאול: מהי הנקודה המתאימה למצב שבו הקרן ניצבת לקוטר? התשובה היא: הנקודה A. לשם B יש במקרה זה אותו תוכן כמו לשם A; ובכל זאת, אי־אפשר היה להשתמש מלכתחילה בשם אחד בלבד, משום שההצדקה לכך ניתנת בראש ובראשונה על ידי התשובה. אותה נקודה נקבעת באופן כפול:
1. באופן בלתי אמצעי, על ידי האינטואיציה.
2. בנקודה B, השייכת לקרן אשר ניצבת לקוטר.
לכל אחד משני אופני הקביעה האלה מתאים שם מסוים. נחיצותו של הסימן לשוויון תוכן מבוססת אם כן על השיקול הבא: אותו תוכן יכול להינתן על ידי שני אופנים שונים; או, מצד שני, העובדה ששני אופני קביעה אלה נותנים אותו תוכן היא תוכנו של משפט; ויש זכות קיום למשפט כזה, משום שהוא מכיל ידיעה אמיתית, שעל ידי "זהות" גרידא לא ניתן להגיע אליה; שהרי כדי שיהיה זהות גרידא, לשני אופני הקביעה האלה צריכים להתאים שמות שונים. נחיצותו של הסימן לשוויון תוכן מבוססת אם כן על כך שהשמות השונים תואמים אופני קביעה שונים, כפי שמראים המושגים "כוכב השחר" ו"כוכב הערב", אשר מייצגים אותם עצמים, כוכבי לכת, אולם השמות מייצגים אופני קביעה שונים: אחד, על פי הופעתו של הכוכב בבוקר, והשני, על פי הופעתו של הכוכב בערב. ואם נרצה לציין ש"כוכב השחר" הוא "כוכב הערב", נעשה זאת על ידי משפט המציין את שוויון תוכנם של שני השמות. כדי לציין שוויון תוכן אנו משתמשים בסימן:
|———— (A ≡ B)
המשמעות של סימן זה היא: השם A והשם B מציינים את אותו הדבר, ובמובן קרוב: למשפט הבא יש תמיד זכות קיום, שכן במקום A מותר תמיד להציב B ולהיפך.
פונקציות
89. המונח פונקציה נלקח במקורו מן האנליזה המתמטית. כאן הוא משמש במובן רחב יותר, משום שאיננו מגבילים את הפונקציות ואת הארגומנטים רק למספרים ולביטויים אלגבריים. נשווה למשל את שני המשפטים המביעים שלילה, התניה וכיוצא באלה: 'התרכובת הפחמן כבד יותר ממימי' ו'החומצה הגופרתית כבדה יותר ממימי' הן אותה פונקציה עם ארגומנטים שונים, אם 'התרכובת הפחמן' ו'החומצה הגופרתית' נחשבים כארגומנטים; לעומת זאת, הם פונקציות שונות של אותו ארגומנט אם 'התרכובת הפחמן' נחשב כזה.
כדוגמא נוספת ניקח את 'המצב שמרכז המסה של מערכת השמש אינו זז במקרה שפועלים עליו רק כוחות פנימיים של מערכת השמש'. כאן 'מערכת השמש' מופיע בשני מקומות. אנו יכולים לפיכך לתפוס זאת כפונקציה של 'מערכת השמש' באופנים שונים, בהתאם לכך שנראה את המופע הראשון, או את השני, או את שניהם (כשבמקרה זה בשני המופעים יוצב אותו ביטוי), כבני־המרה על ידי ארגומנטים אחרים. שלוש הפונקציות הללו שונות זו מזו. והוא הדין במשפט: 'קאטו הרג את קאטו'. אם אנו חושבים על המופע הראשון של 'קאטו' כבר-המרה, אזי הפונקציה היא 'להרוג את קאטו'; אם אנו חושבים על המופע השני של 'קאטו' כבר-המרה, אזי הפונקציה היא 'להיהרג על ידי קאטו'; ולבסוף אם אנו חושבים על שני המופעים כבר-המרה, אזי הפונקציה היא 'להרוג את עצמו'.
נבטא כעת את העניין באופן כללי:
אם בביטוי, שתוכנו אינו חייב להיות שפיט, סימן פשוט או מורכב, במופע אחד או יותר שבהם הוא מופיע, נחשב על ידינו, במופע אחד או יותר שלו, כבר־המרה על ידי אחר, כשבכל מופעי הביטוי הללו יוצב אותו ביטוי, אזי אנו מכנים את החלק שאינו משתנה בביטוי בשם פונקציה, ואת החלק המשתנה – הארגומנט שלו.
מאחר שלפי זה, דבר יכול להופיע כארגומנט, וביחד עם זאת להופיע בפונקציה במקומות שאינם נחשבים כבני־המרה, אנו מבחינים בפונקציה בין מקומות הארגומנט ובין היתר.
מן הראוי להזהיר כאן מפני רושם מוטעה העלול בקלות להתקבל מן השפה הטבעית. אם נשווה את שני המשפטים: 'המספר 20 ניתן לייצוג כסכום של ארבעה מספרים ריבועיים', ו'כל מספר טבעי ניתן לייצוג כסכום של ארבעה מספרים ריבועיים', ייתכן שידומה לנו שאפשר יהיה לתפוס את 'להיות ניתן לייצוג על ידי ארבעה מספרים ריבועיים' כפונקציה שפעם מקבלת כארגומנט את 'המספר 20' ופעם את 'כל מספר טבעי'. את הטעות שבתפיסה זו נראה אם נשים לב ש'המספר 20' ו'כל מספר טבעי' אינם מושגים מאותה רמה (gleichen Ranges). מה שניתן לומר על המספר 20 אין לומר באותו מובן על 'כל מספר טבעי', אם כי בנסיבות מתאימות אפשר לומר זאת על 'כל מספר טבעי', אם כי בנסיבות מתאימות אפשר לומר על 'כל מספר טבעי' מה שניתן לומר על 'המספר 20'. הביטוי 'כל מספר טבעי' אינו נותן, כמו 'המספר 20', מושג עצמאי, אלא הוא מקבל מובן רק דרך ההקשר של המשפט; דהיינו, דרך הטענה: אם דבר מה הוא מספר טבעי, אזי יש לו התכונה הנדונה.
אם נשמיט מביטוי של פונקציה את הסימן המציין את הארגומנט, יישאר ביטוי המכיל מקום ריק או מספר מקומות ריקים. בדומה לכך, אנו יכולים להבחין בין שני המרכיבים:
הקבוע — המשתנה
התוכן — הצורה
יש לשים לב שהאות Φ או Ψ, שבהן אנו משתמשים כדי לסמן פונקציות באופן כללי, אינן מופיעות בפני עצמן...
100. כסמל לפונקציה לא־קבועה של ארגומנט A, אנו מציגים את A בסוגריים, אחרי אות, לדוגמא
Φ(A)
Ψ(A, B)
מציין פונקציה של שני ארגומנטים A ו־B, שאינה קבועה מעבר לכך שבין המקומות של A ו־B בסוגריים את המקומות של A ו־B תופסים בפונקציה, בלי קשר לשאלה אם יש ל־A או ל־B מקום אחד כזה או יותר. לפיכך, באופן כללי, יש הבדל בין
Ψ(A, B) ובין Ψ(B, A).
פונקציות לא־קבועות של יותר ארגומנטים יבוטאו בדרך דומה.
את
|———— Φ(A)
אפשר לקרוא: "ל־A יש התכונה Φ".
את
|———— Ψ(A, B)
ניתן לתרגם כך: "B עומד ביחס Ψ ל־A", או כך: "B הוא תוצאה של הפעלת ההליך (Anwendung des Verfahrens) Ψ על האובייקט A".
מאחר שהסימן Φ מופיע בביטוי
Φ(A)
ומאחר שאנו יכולים לחשוב עליו כניתן להמרה בסימנים Ψ או X – ובכך יבוטאו פונקציות שונות של הארגומנט A – אפשר לתפוס את Φ(A) כפונקציה של הארגומנט Φ. רואים כאן בבירור, שמושג הפונקציה של האנליזה, שבאופן כללי הלכתי בעקבותיו, הוא צר הרבה מזה שפותח כאן.